Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F₁(－4，0)，F(xiàn)₂(4，0)，A(0，8)，直線y＝t(0＜t＜8)與線段AF₁、AF₂分別交于點(diǎn)P、Q．

(1)當(dāng)t＝3時(shí)，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且過(guò)PQ中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)Q作直線QR∥AF₁交F₁F₂于點(diǎn)R，記△PRF₁的外接圓為圓C．

①求證：圓心C在定直線7x＋4y＋8＝0上；

②圓C是否恒過(guò)異于點(diǎn)F₁的一個(gè)定點(diǎn)？若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為， 　　當(dāng)時(shí)，PQ的中點(diǎn)為(0，3)，所以b＝3；3分 　　而，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；5分 　　(Ⅱ)①解法一：易得直線， 　　所以可得，再由，得；8分 　　則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為， 　　由，解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為；10分 　　經(jīng)驗(yàn)證，該圓心在定直線上；11分 　　解法二：易得直線，所以可得， 　　再由，得；8分 　　設(shè)的外接圓的方程為， 　　則，解得；10分 　　所以圓心坐標(biāo)為，經(jīng)驗(yàn)證，該圓心在定直線上；11分 　　②由①可得圓C的方程為；13分 　　該方程可整理為， 　　則由，解得或， 　　所以圓恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為；16分