Question

已知函數(shù)f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．

(1)當a＝3時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若過點可作函數(shù)y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和；(2) ；(3)

【解析】

試題分析：(1)求導，令導數(shù)大于0得增區(qū)間令導數(shù)小于0得減區(qū)間。(2) 對于任意都有成立，轉(zhuǎn)化為對于任意都有。求時可根據(jù)求導求單調(diào)性求最值，也可直接根據(jù)二次函數(shù)問題求其單調(diào)區(qū)間再求其最值。(3)先在曲線上任取一點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求其過此點的切線的斜率，再用點斜式求切線方程。將代入直線方程。分析可知此方程應有3個不同的解。將上式命名新函數(shù)，用單調(diào)性求此函數(shù)的極值點可知一個極值應大于0，另一個極值應小于0.

試題解析：(1)當時，函數(shù)，

得． 1分

所以當時，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 2分

當x＜1或x＞2時，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 3分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和 ．4分

(2)由，得， 5分

因為對于任意都有成立，

所以問題轉(zhuǎn)化為對于任意都有． 6分

因為，其圖象開口向下，對稱軸為.

①當，即時，在上單調(diào)遞減，

所以，

由，得，此時. 7分

②當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

由，得，此時. 8分

綜上可得，實數(shù)的取值范圍為 ． 9分

(3)設點是函數(shù)圖象上的切點，

則過點的切線的斜率， 10分

所以過點P的切線方程為， 11分

因為點在該切線上，

所以，

即.

若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線，

則方程有三個不同的實數(shù)解． 12分

令，則函數(shù)的圖象與坐標軸橫軸有三個不同的交點．

令，解得或.

因為，， 13分

所以必須，即.

所以實數(shù)的取值范圍為 ． 14分

考點：1導數(shù)及導數(shù)的幾何意義；2用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性；3用單調(diào)性求極值、最值。