Question

直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B.

(1)求實數(shù)k的取值范圍.

(2)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F₂?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)由得(k²-2)x²+2kx+2=0(*).這個關于x的二次方程有兩個不等正根.

∴-2＜k＜-.

故所求k的取值范圍為-2＜k＜-.

(2)設A、B兩點的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂).

則由(*)得

若存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F₂(c,0),

則,即(x₁-c)·(x₂-c)+y₁y₂=0,

即x₁x₂-c(x₁+x₂)+c²+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

得(k²+1)x₁x₂+(k-c)(x₁+x₂)+c²+1=0.                                               （2）

將（1）代入（2）中得(k²+1)·+(k-c)·+c²+1=0.

又c²=,

∴5k²+2k-6=0,得k=-或k=(-2,-).

由此,k=-即為所求.

故存在實數(shù)k=-使原命題成立.