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        1. 底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中,,BC=1,PA=2,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,E為PD的中點
          (Ⅰ)求直線AC與PB所成角的余弦值;
          (Ⅱ)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NE⊥面PAC,并求出點N到AB和AP的距離.

          【答案】分析:(1)以A為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,可得B、C、D、P、E各點坐標,從而得到向量的坐標,利用空間向量的夾角公式即可算出AC與PB所成角的余弦值;
          (2)根據(jù)N點在側(cè)面PAB內(nèi),設(shè)N點坐標為(x,0,z),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出x=且z=1,得N,即可得到側(cè)面PAB內(nèi)存在點N,使NE⊥面PAC,并可給出N點到AB和AP的距離.
          解答:解:(1)以A為原點,AB、AD、AP分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標系如圖所示
          可得、、D(0,1,0)、
          P(0,0,2)、,
          從而
          設(shè)的夾角為θ,則
          ,
          ∴AC與PB所成角的余弦值為
          (Ⅱ)由于N點在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)N點坐標為(x,0,z),

          由NE⊥面PAC可得,,即
          化簡得,即,可得N點的坐標為,
          從而側(cè)面PAB內(nèi)存在點N,使NE⊥面PAC,N點到AB和AP的距離分別為
          點評:本題在特殊的四棱錐中求異面直線所成角的余弦值,并探索側(cè)面PAB內(nèi)滿足NE⊥面PAC的點P位置,著重考查了空間向量的夾角公式、平面法向量的求法和利用空間向量研究空間位置關(guān)系等知識,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=
          6
          ,點E是棱PB的中點.
          (1)求直線AD與平面PBC的距離;
          (2)若AD=
          3
          ,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)在四棱錐O-ABCD中,OA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AB=OA=tBC(t>0).
          (I)當(dāng)t=1時,求證:BD⊥DC;
          (II)若BC邊有且僅有一個點E,使得OE⊥ED,求此時二面角A-CD-E的正切值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中,AB=
          3
          ,BC=1,PA=2,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,E為PD的中點
          (Ⅰ)求直線AC與PB所成角的余弦值;
          (Ⅱ)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NE⊥面PAC,并求出點N到AB和AP的距離.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,SD⊥底面ABCD,E是SD的中點,AD=
          2
          ,DC=SD=2

          (1)證明:SB∥平面ACE;
          (2)求二面角A-SB-C的余弦值;
          (3)設(shè)點F在側(cè)棱SC上,∠ABF=60°,求
          SF
          FC

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