Question

如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為p，過(guò)點(diǎn)P（1，0）做斜率為k的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，直線BC交x軸于Q點(diǎn)；
（1）求p的值；
（2）求證：點(diǎn)Q是定點(diǎn)，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)為M，則M（

1

2p

，1），利用拋物線的定義得出其到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出關(guān)于p的方程求解即可；
（2）由（1）得：拋物線方程為：y²=2x，設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，0）做斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用直線的主程即可求得求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)為M，則M（

1

2p

，1），
其到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即

1

2p

+

p

2

=p，∴p=1．
（2）由（1）得：拋物線方程為：y²=2x，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，0）做斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-1）代入拋物線方程得：
y²=2（1+

y

k

），即y²-2

y

k

-2=0，設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
則y_Ay_B=-2，
A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（x_A，-y_A），
直線BC的方程為：y-y_B=

y B+y A

x B-x A

（x-x_B），令y=0得：
x=x_B+

x B-x A

y B+y A

×（-y_B）=x_B+

y B 2 2p - y A 2 2p

y B+y A

×（-y_B）=x_B+

1

2p

×（-y_B²+y_Ay_B）
=

1

2p

×y_Ay_B
=-1，
即點(diǎn)Q是定點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到拋物線的定義、軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．