Question

選修4-1：幾何證明選講．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)已知中Rt△ABC中，∠ACB=90°，結合切線的性質(zhì)，我們可證OE∥BC，進而可得△BDF為等腰三角形，進而得到答案．
（2）由（1）中結論，我們易證△AOE∽△ABC，由BC=6，AD=4，我們可以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，構造出關于圓半徑r的方程，解方程求出圓的半徑，進而可以求出⊙O的面積．

解答：證明：（1）連接OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF．（5分）
解：（2）設⊙O半徑為r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴

AO

AB

=

OE

BC

，即

r+4

2r+4

=

r

6

，
∴r²-r-12=0，解之得r=4，或r=-3（舍）．
∴S=πr²=16π．（5分）

點評：本題考查的知識點是與圓有關的比例線段，其中（1）的關鍵是添加輔助線，并得到OE∥BC，（2）的關鍵是證得△AOE∽△ABC，并根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，構造出關于圓半徑r的方程．