Question

從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名作為樣本測(cè)量身高．據(jù)測(cè)量，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160）第二組[160，165）；…第八組[190，195]．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）估計(jì)這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（Ⅱ）在上述樣本中從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，求滿(mǎn)足“|x-y|≤5”的事件的概率；
（Ⅲ）在上述樣本中從最后三組中任取3名學(xué)生參加學(xué)�；@球隊(duì)，用ξ表示從第八組中取到的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：第一組人數(shù)為0.008×5×50=2人，
則第八組也為2人，第二組人數(shù)為0.016×5×50=4人，
第三組與第四組人數(shù)分別為0.04×5×50=10人，
第五組人數(shù)為0.06×5×50=15人，
由于第六組，第七組，第八組的人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，
設(shè)第七組人數(shù)為a人，第八組人數(shù)為b人，
則a+b=7，2+b=2a，解得a=3，b=4．
從而這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為：
800×

2+3+4

50

=144人．
…（4分）
解法二：由題意得，這所學(xué)校高三年級(jí)全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為：
800×[1-（0.008×5+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5）]=144人．…（4分）
（Ⅱ）第六組人數(shù)為4人，第八組人數(shù)為2人．
由題意得，從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生的基本事件總數(shù)為

C

26

=15種，
身高x，y滿(mǎn)足“|x-y|≤5”的基本事件數(shù)為

C

24

+

C

22

=7種，
所以P(|x-y|≤5)=

7

15

．…（7分）
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0，1，2．…（8分）
P(ξ=0)=

C 37 C 02

C 39

=

35

84

=

5

12

；
P(ξ=1)=

C 27 C 12

C 39

=

42

84

=

1

2

；
P(ξ=2)=

C 17 C 22

C 39

=

7

84

=

1

12

．…（11分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

故Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．…（12分）