Question

已知點P（-1，

3

2

）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點F₁、F₂分別是橢圓C的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．
①求橢圓C的方程；
②設(shè)A、B是橢圓C上兩個動點，滿足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2）求直線AB的斜率．

Answer 1

分析：①由于PF₁⊥x軸，可得c=1，把點P（-1，

3

2

）代入橢圓的方程得

1

a2

+

9

4b2

=1，又a²-b²=c²=1，聯(lián)立解得a²，b²即可；
②設(shè)直線y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量運算和向量相等即可得出．

解答：解：①∵PF₁⊥x軸，∴c=1，把點P（-1，

3

2

）代入橢圓的方程得

1

a2

+

9

4b2

=1，又a²-b²=c²=1，聯(lián)立解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
②設(shè)直線y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線AB與橢圓有兩個不同的交點，∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化為3+4k²-m²＞0．（*）
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

．
∵滿足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），
∴(x1+1，y1-

3

2

)+(x2+1，y2-

3

2

)=λ(1，-

3

2

)，
∴x₁+x₂+2=λ，y1+y2-3=-

3

2

λ，
又y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m，
∴k(x1+x2)+2m-3=-

3

2

(x1+x2+2)，
∴(k+

3

2

)(x1+x2)+2m=0，
∴(k+

3

2

)×

-8km

3+4k2

+2m=0，
化為m（2k-1）=0，
若m=0，則直線AB經(jīng)過原點，此時

PA

+

PB

=2

PO

，λ=2，不符合題意，因此m≠0．
∴2k-1=0，解得k=

1

2

．

點評：本題中考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運算與相等等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．