Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^﹡，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡.cn=

1

S1+1

+

1

S2+2

+…+

1

Sn+n

（1）求a_n，b_n，c_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2n²+n可求得a_n；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得b_n；利用錯(cuò)位相減法與累加法可求得c_n；
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：（1）由S_n=2n²+n，得
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^﹡．
又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡．
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2^n-1，n∈N^﹡
∴

1

Sn+n

=

1

2(n2+n)

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴c_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

•

n

n+1

=

n

2n+2

．
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^﹡
∴T_n=3+7×2+11×2²+…+（4n-1）•2^n-1，①
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）•2^n-1+（4n-1）•2ⁿ，②
∴②-①得：T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-5）2ⁿ+5，
∴T_n=（4n-5）2ⁿ+5，n∈N^﹡．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的概念及錯(cuò)位相減法的綜合應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．