Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求函數(shù)f（x）（x≠1）的值域，
（2）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）＜1時(shí)，x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當(dāng)a=1，b=2時(shí)，f（x）= =x﹣1+ +5，（x≠1）

當(dāng)x＞1時(shí)，即x﹣1＞0．

∴f（x）=x﹣1+ +5≥2 +5=2+5=7

當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1= ，即x=2時(shí)取等號(hào)

當(dāng)x＜1．

f（x）=x﹣1+ +5=5﹣[﹣（x﹣1）﹣ ]≤﹣2 +5=﹣2+5=3

當(dāng)且僅當(dāng)﹣（x﹣1）=﹣ ，即x=0時(shí)取等號(hào)

所以函數(shù)f（x）的值域（﹣∞，3]∪[7，+∞）

（2）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）= ＜1，即 ＜0，（bx﹣2）（x﹣1）＜0

①當(dāng)b=0時(shí)，解集為{x|x＞1}…（8分）

②當(dāng)b＜0時(shí)，解集為{x|x＞1或x＜ }

③當(dāng) =1，即b=2，解集為

④當(dāng) ＞1，即0＜b＜2時(shí)，解集為{x|1＜x＜ }

⑤當(dāng)0＜ ＜1，即b＞2時(shí)，解集為{x| ＜x＜1}

【解析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)，利用分子常數(shù)化，轉(zhuǎn)化為基本不等式進(jìn)行求解即可．（2）將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，討論參數(shù)b的取值范圍進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．