Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體的截面記為S，則下列命題正確的是______

①當(dāng)且時(shí)，S為等腰梯形；

②當(dāng)分別為，的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為；

③當(dāng)M為中點(diǎn)且時(shí)，S與的交點(diǎn)為R，滿足；

④當(dāng)M為中點(diǎn)且時(shí)，S為五邊形；

⑤當(dāng)且時(shí)，S的面積.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

對(duì)五個(gè)命題逐一畫出圖像，進(jìn)行分析，判斷出其中的真命題，由此得出正確命題的序號(hào).

對(duì)于①，畫出圖像如下圖所示，過作，交于，截面為，由于，所以，故，所以，即截面為等腰梯形.故①正確.

對(duì)于②，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直線坐標(biāo)系，則,則,.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故.則點(diǎn)到平面的距離為.而，故，故②命題正確.

對(duì)于③，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故③判斷錯(cuò)誤.

對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，截面為三角形，故④判斷錯(cuò)誤.

對(duì)于⑤，延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于，連接,交于，則截面為四邊形.由于,所以，面積比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,邊上的高為,故,所以.

綜上所述，本小題正確的命題有①②.