Question

如圖，直角三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-2，0），直角頂點(diǎn)B(0，-2

2

)，頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)．
（1）求BC邊所在直線方程；
（2）M為直角三角形ABC外接圓的圓心，求圓M的方程；
（3）若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由kAB=-

2

，AB⊥BC，知kCB=

2

2

，由此能求出BC邊所在直線方程；
（2）在BC邊所在直線方程中，令y=0，得C（4，0），由此知圓心M（1，0），再由AM=3，可求出圓M的方程；
（3）由圓N過(guò)點(diǎn)P（-1，0），知PN是該圓的半徑．再由動(dòng)圓N與圓M內(nèi)切，知MN+PN=3，故點(diǎn)N的軌跡是以M、P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓，由此能求出其軌跡方程．

解答：解：（1）∵kAB=-

2

，AB⊥BC，
∴kCB=

2

2

，
∴BC：y=

2

2

x-2

2

（3分）
（2）在上式中，令y=0，得C（4，0），
∴圓心M（1，0）
又∵AM=3，
∴外接圓的方程為（x-1）²+y²=9（7分）
（3）∵P（-1，0），M（1，0）
∵圓N過(guò)點(diǎn)P（-1，0），
∴PN是該圓的半徑
又∵動(dòng)圓N與圓M內(nèi)切，
∴MN=3-PN，即MN+PN=3（11分）
∴點(diǎn)N的軌跡是以M、P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓，
∴a=

3

2

，c=1，（13分）
b=

a2-c2

=

5 4

，
∴軌跡方程為

x2

9 4

+

y2

5 4

=1（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的軌跡方程，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意公式的合理運(yùn)用．