Question

函數(shù)y=f(x)是定義在［a，b］上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f(x)無(wú)零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)F(x)=f²(x)+f²(-x)，則對(duì)于F(x)有如下四個(gè)說(shuō)法：

①定義域是［-b，b］；②是偶函數(shù)；

③最小值是0；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)有

A.4個(gè)                B.3個(gè)                C.2個(gè)                D.1個(gè)

Answer 1

C  ①函數(shù)F(x)=f²(x)+f²(-x),

∴∵-a＞b＞0,∴a＜-b＜0.∴-b≤x≤b.①正確.

②F(-x)=f²(-x)+f²(x)=F(x),∴F(x)為偶函數(shù),②正確.

③∵f(x)在定義域上為增函數(shù),且無(wú)零點(diǎn),∴f(x)＞0恒成立,或f(x)＜0恒成立.

∴f²(x)＞0.同理f²(-x)＞0,③不正確.

④∵f(x)為定義域上的增函數(shù),∴f(-x)為定義域上的減函數(shù).設(shè)-b≤x₁＜x₂≤b,

F(x₁)-F(x₂)=f²(x₁)+f²(-x₁)-f²(x₂)-f²(-x₂)=［f²(x₁)-f²(x₂)］+［f²(-x₁)-f²(-x₂)］

=［f(x₁)+f(x₂)］［f(x₁)-f(x₂)］+［f(-x₁)+f(-x₂)］［f(-x₁)-f(-x₂)］.

∵x₁＜x₂,∴f(x₁)-f(x₂)＜0,-x₁＞-x₂,∴f(-x₁)-f(-x₂)＜0,

∴F(x₁)-F(x₂)的正負(fù)號(hào)取決于f(x₁)+f(x₂)與f(-x₁)+f(-x₂)的正負(fù)號(hào),由題意兩式可正可負(fù),故F(x₁)-F(x₂)的正負(fù)號(hào)無(wú)法判斷,故F(x)的單調(diào)性無(wú)法判斷,④不正確.∴①②正確.