Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為，直線過點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線在軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據(jù)已知得到a,b,c的方程組解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)先求出直線在在軸上的截距的表達(dá)式，再求k的范圍，即得直線在軸上的截距的取值范圍.

（1）依題意，，解得，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）記直線與軸的交點(diǎn)為.

由題可知直線的斜率一定存在，故可設(shè)直線的方程為.

當(dāng)時，直線的方程為，所以.

將直線的方程代入橢圓的方程，消去得.

設(shè)，線段的中點(diǎn)為，則

，代入直線的方程

得，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得.

又因為，

化簡得.

將代入上式得，解得，

所以，且，

所以.

當(dāng)時，直線的方程為，其在軸上的截距為0.

綜上所述，在軸上的截距的取值范圍為.