Question

（2012•廣州一模）已知點F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若△ABF₂為等邊三角形，則該雙曲線的離心率e=（　　）

• A．2
• B．2

  3

• C．

  2

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分別求出AB，F(xiàn)₁F₂的長，利用△ABF₂為等邊三角形，即可求出雙曲線的離心率．

解答：解：設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則
將F₁（-c，0）代入雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，可得

c2

a2

-

y2

b2

=1，
∴y=±

b2

a

∵過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線C交于A、B兩點，
∴|AB|=

2b2

a

∵△ABF₂為等邊三角形，|F₁F₂|=2c，
∴2c=

3

2

×

2b2

a

∴2ac=

3

(c2-a2)
∴

3

e2-2e-1=0
∴e=-

3

3

或

3

∵e＞1，∴e=

3

故選D．

點評：本題重點考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查等邊三角形的性質(zhì)，求離心率的關鍵是確定幾何量之間的關系．