Question

21.已知橢圓+y²=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC∥x軸.求證直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).

Answer 1

21.本小題主要考查橢圓和直線的基礎(chǔ)知識(shí)以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

證明一：依題設(shè)，得橢圓的半焦距c=1，右焦點(diǎn)為F(1，0)，右準(zhǔn)線方程為x=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,0)，EF的中點(diǎn)為N(，0).

　若AB垂直于x軸，則A(1，y₁)，B(1，－y₁)，C(2，－y₁)，

　所以AC中點(diǎn)為N(，0)，即AC過(guò)EF中點(diǎn)N.

若AB不垂直于x軸，由直線AB過(guò)點(diǎn)F，且由BC∥x軸知點(diǎn)B不在x軸上，故直線AB的方程為

y=k(x－1)，k≠0.記A(x₁，y₁)和B(x₂，y₂)，則C(2，y₂)且x₁，x₂滿(mǎn)足二次方程＋k²(x－1)²=1,

　即                　(1+2k²)x²－4k²x+2(k²－1)=0,

　

所以              x₁+ x₂=, x₁x₂=.

　

又x₁²=2－2y₁²<2，得x₁－≠0，故直線AN，CN的斜率分別為

k₁==,

k₂==2k(x₂－1).

　所以　k₁－k₂＝2k·

　因?yàn)椤?x₁－1)－(x₂－1)(2x₁－3)

              ＝3(x₁+x₂)－2x₁x₂－4

              ＝［12k²－4(k²－1)－4(1＋2k²)］

              ＝0，

　所以k₁－k₂=0，即k₁＝k₂，故A、C、N三點(diǎn)共線.

　所以，直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)N.

　

證明二：如圖，記直線AC與x軸的交點(diǎn)為N，過(guò)A作AD⊥l，D是垂足.因?yàn)?I>F是橢圓的右焦點(diǎn)，l是右準(zhǔn)線，

BC∥x軸，即BC⊥l，根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)，得：＝＝e　(e是橢圓的離心率)，

　因?yàn)?I>AD∥FE∥BC，

　所以＝＝，＝，

　即得|EN|== e·==|FN|，

　所以N為EF的中點(diǎn)，即直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)N.