Question

【題目】已知函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可得出，進(jìn)而可求得函數(shù)的解析式；

（2）令，得，則問題等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與直線的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實數(shù)的取值范圍；

（3）任取、且，可得出，進(jìn)而得出，求出的取值范圍，由此可解得實數(shù)的取值范圍.

（1）在函數(shù)的圖象上任取一點，

則該點關(guān)于點的對稱點在函數(shù)的圖象上，

所以，，；

（2）令，得，

則問題等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，

，

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，

作出函數(shù)與直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3）由（1）知，，

任取、且，即，

則，

，則，，

所以，

，，則，，即，

，解得.

因此，實數(shù)的取值范圍是.