Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．

（1）確定與的關(guān)系；若，并試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn) ，求證： ．

Answer 1

【答案】(1) ，單調(diào)性見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定與的關(guān)系，再利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變換和分類討論思想確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)先利用直線的斜率公式確定不等關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可求解 .

試題解析：（1） ， ，

由題意得， ；

，

①當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ， 函數(shù)在單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)， ， 函數(shù)在單調(diào)增；

②當(dāng)時(shí)，即， ，

函數(shù)在上單調(diào)減；函數(shù)在和單調(diào)增；

③當(dāng)時(shí)，即， ，

函數(shù)在單調(diào)增；

④當(dāng)時(shí)．即， ，

函數(shù)在單調(diào)減區(qū)間；函數(shù)在和單調(diào)增；

（2）由題設(shè)，

①

令，則，

時(shí)， ， 函數(shù)在是減函數(shù)，

而， 時(shí)，

， ， ，即， ②

令，則，

時(shí)， ， 在是增函數(shù)，

時(shí)， ， ，

即 ③由①②③得．