Question

已知二次函數f（x）=px²+qx（p≠0），其導函數為f'（x）=6x-2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=

1

3

(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）已知不等式ln（x+1）＜x（x＞0）成立，求證：

n

k=2

lnk

k2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據給出的二次函數的導函數求出p、q的值，把點代入二次函數解析式，求出S_n，分類求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的a_n得c_n，代入遞推式后運用錯位相減法可求得b_n；
（Ⅲ）根據不等式ln（x+1）＜x（x＞0）成立，則

lnx

x

＜

x-1

x

=1-

1

x

，結合結論中分母有k²，所以把其中的x換為n²，放縮后進行列項求和即可得證．

解答：解：（Ⅰ）已知二次函數f（x）=px²+qx（p≠0），則f'（x）=2px+q=6x-2
故p=3，q=-2
所以f（x）=3x²-2x，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y=f（x）的圖象上，
則Sn=3n2-2n，當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=6n-5
故數列{a_n}的通項公式：a_n=6n-5
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cn=

1

3

(an+2)=2n-1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1，
當n=1時，b1=

1

2

，
當n≥2時，2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1+2nbn=2n-1
2b1+22b2+23b3+…+2^n-1b_n-1=2（n-1）-1
兩式相減得：bn=

1

2n-1

=21-n，
故數列{b_n}的通項公式：bn=

1 2 ，n=1 21-n，n≥2，n∈N*

（Ⅲ）已知不等式ln（x+1）＜x（x＞0）成立，故lnx＜x-1，則

lnx

x

＜

x-1

x

=1-

1

x

所以

lnn2

n2

＜1-

1

n2

⇒

lnn

n2

＜

1

2

(1-

1

n2

)，
故

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

1

2

(1-

1

22

)+

1

2

(1-

1

32

)+…+

1

2

(1-

1

n2

)
=

1

2

(n-1)-

1

2

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

))＜

1

2

(n-1)-

1

2

(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
=

1

2

(n-1)-

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2n2-n-1

4(n+1)

．
故不等式

n

k=2

lnk

k2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N*，n≥2)成立．

點評：本題考查了數列與不等式的綜合，考查了給出數列前n項和求通項的方法，訓練了不等式證明的放縮法，同時考查了數列的列項求和，是一個綜合性較強的問題，屬難度較大的題型．