Question

已知函數(shù)f(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2．
（1）求f（x）在[0，1]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意x∈[

1

3

，1]，不等式|a-f（x）|＞ln5，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的定義域，然后求出導函數(shù)f'（x），在[0，1]上，求解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）先將不等式的絕對值去掉得到a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5在x∈[

1

3

，1]恒成立，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞-

2

3

}，f′(x)=

3

2+3x

-3x=

3-6x-9x2

2+3x

=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

（3分）
∴在[0，1]上，當0≤x＜

1

3

時，f'（x）＞0時，f（x）單調(diào)遞增；
當

1

3

＜x≤1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）在[0，1]上的增區(qū)間是[0，

1

3

]，減區(qū)間是[

1

3

，1]．（開閉均可）（6分）
（2）由|a-f（x）|＞ln5，可得a-f（x）＞ln5或a-f（x）＜-ln5，
即a＞f（x）+ln5或a＜f（x）-ln5．（7分）
由（1）當x∈[

1

3

，1]時，f（x）max=f（

1

3

）=ln3-

1

6

，f(x)min=f(1)=ln5-

3

2

．（9分）
∵a＞f（x）+ln5恒成立，∴a＞ln15-

1

6

，
∵a＜f（x）-ln5恒成立，∴a＜-

3

2

．
∴a的取值范圍為：a＞ln15-

1

6

或a＜-

3

2

（12分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．