Question

以知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），過(guò)點(diǎn)E(

a2

c

，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線F₂B上有一點(diǎn)H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圓上，求

n

m

的值．

Answer 1

分析：（1）由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，得|

EF2

EF1

|=|

F2B

F1A

|=

1

2

，從而

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

，由此可以求出橢圓的離心率．
（2）由題意知橢圓的方程可寫為2x²+3y²=6c²，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

a2

c

)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則它們的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

，整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．
（III）解法一：當(dāng)k=-

2

3

時(shí)，得A(0，

2

c)，C(0，-

2

c)．線段AF₁的垂直平分線l的方程為y-

2

2

c=-

2

2

(x+

c

2

)直線l與x軸的交點(diǎn)(

c

2

，0)是△AF₁C外接圓的圓心，因此外接圓的方程為(x-

c

2

)2+y2=(

c

2

+c)2．由此可以推導(dǎo)出

n

m

的值．
解法二：由橢圓的對(duì)稱性可知B，F(xiàn)₂，C三點(diǎn)共線，由已知條件能夠?qū)С鏊倪呅蜛F₁CH為等腰梯形．由此入手可以推導(dǎo)出

n

m

的值．

解答：（1）解：由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
得|

EF2

EF1

|=|

F2B

F1A

|=

1

2

，從而

a2 c -c

a2 c +c

=

1

2

整理，得a²=3c²，故離心率e=

c

a

=

3

3

（2）解：由（I）得b²=a²-c²=2c²，
所以橢圓的方程可寫為2x²+3y²=6c²
設(shè)直線AB的方程為y=k(x-

a2

c

)，即y=k（x-3c）．
由已知設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則它們的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2

消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依題意，△=48c2(1-3k2)＞0，得-

3

3

＜k＜

3

3

而x1+x2=

18k2c

2+3k2

①
x1x2=

27k2c2-6c2

2+3k2

②
由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x₁+3c=2x₂③
聯(lián)立①③解得x1=

9k2c-2c

2+3k2

，x2=

9k2c+2c

2+3k2

將x₁，x₂代入②中，解得k=±

2

3

．
（III）解法一：由（II）可知x1=0，x2=

3c

2

當(dāng)k=-

2

3

時(shí)，得A(0，

2

c)，由已知得C(0，-

2

c)．
線段AF₁的垂直平分線l的方程為y-

2

2

c=-

2

2

(x+

c

2

)直線l與x軸
的交點(diǎn)(

c

2

，0)是△AF₁C外接圓的圓心，
因此外接圓的方程為(x-

c

2

)2+y2=(

c

2

+c)2．
直線F₂B的方程為y=

2

(x-c)，
于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組

(m- c 2 )2+n2= 9c2 4 n= 2 (m-c)

，
由m≠0，解得

m= 5 3 c n= 2 2 3 c

故

n

m

=

2 2

5

當(dāng)k=

2

3

時(shí)，同理可得

n

m

=-

2 2

5

．
解法二：由（II）可知x1=0，x2=

3c

2

當(dāng)k=-

2

3

時(shí)，得A(0，

2

c)，由已知得C(0，-

2

c)
由橢圓的對(duì)稱性可知B，F(xiàn)₂，C三點(diǎn)共線，
因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在△AF₁C的外接圓上，
且F₁A∥F₂B，所以四邊形AF₁CH為等腰梯形．
由直線F₂B的方程為y=

2

(x-c)，
知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，

2

m-

2

c)．
因?yàn)閨AH|=|CF₁|，所以m2+(

2

m-

2

c-

2

c)2=a2，解得m=c（舍），或m=

5

3

c．
則n=

2 2

3

c，所以

n

m

=

2 2

5

．當(dāng)k=

2

3

時(shí)同理可得

n

m

=-

2 2

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系和橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大，解題要注意公式的正確選取和靈活運(yùn)用，避免不必要的性質(zhì)．