Question

若函數(shù)f（x）滿足：“對于區(qū)間（1，2）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，則稱f（x）為優(yōu)美函數(shù)．在下列四個(gè)函數(shù)中，優(yōu)美函數(shù)是

1. A.
   f（x）=|x|
2. B.
   
3. C.
   f（x）=2x
4. D.
   f（x）=x²

Answer 1

B
分析：首先分析題目的新定義滿足：“對于區(qū)間（1，2）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，則稱f（x）為優(yōu)美函數(shù)，要求選擇優(yōu)美曲線．故需要對4個(gè)選項(xiàng)代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分別驗(yàn)證是否成立即可得到答案．
解答：在區(qū)間（1，2）上的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），分別驗(yàn)證下列4個(gè)函數(shù)．
對于A：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|（因?yàn)楣蕏₁和x₂大于0）故對于等于號(hào)不滿足，故不成立．
對于B：，|f（x₂）-f（x₁）|==＜|x₂-x₁|（因?yàn)閤₁，x₂在區(qū)間（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
對于C：f（x）=2x，|f（x₂）-f（x₁）|=2|x₂-x₁|＜|x₂-x₁|．不成立．
對于D：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|不成立．
故選B．
點(diǎn)評：此題主要考查新定義的理解和應(yīng)用問題．涉及到絕對值不等式的應(yīng)用．對于此類型的題目需要對題目概念做認(rèn)真分析再做題．屬于中檔題目．