Question

平面向量，，若存在不同時為o的實數(shù)k和x，使，，．
（Ⅰ）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（x）．
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的f（x），設(shè)h（x）=4f（x）-ax²在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
①求實數(shù)a的取值范圍；
②當(dāng)a=-1時，如果存在x₀≥1，h（x₀）≥1，且h（h（x₀））=x₀，求證：h（x₀）=x₀．

Answer 1

解：（Ⅰ），=1，，
由，=-k+，且．
得=[+]•（-k+）=-k+x-k（x²-3）+x（x²-3）=-4k+x（x²-3）=0，
所以k=，即k=f（x）=；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，h（x）=4f（x）-ax²=x³-3x-ax²，h′（x）=3x²-3-2ax，
因為h（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以h′（x）=3x²-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，
亦即a≤在[1，+∞）上恒成立，
因為遞增，-遞增，所以在[1，+∞）上遞增，
所以≥=0，
故a≤0，所以實數(shù)a的取值范圍為a≤0；
②當(dāng)a=-1時，h（x）=x³-3x+x²，h′（x）=3x²-3+2x，
當(dāng)x≥1時，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．
若1≤x₀＜h（x₀），則h（x₀）＜h（h（x₀））=x₀矛盾，若1≤h（x₀）＜x₀，則h（h（x₀））＜h（x₀），即x₀＜h（x₀），矛盾，
故只有h（x₀）=x₀成立；
分析：（Ⅰ）由得=0，把向量坐標(biāo)代入化簡整理即得答案；
（Ⅱ）①由h（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)及h′（x）的表達式，得h′（x）=3x²-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決；
②反證法：易判斷h（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，假設(shè)1≤x₀＜h（x₀），由單調(diào)性可導(dǎo)出矛盾，同理1≤h（x₀）＜x₀也不成立；
點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運算能力及分析解決問題的能力，難度較大．