Question

設(shè)f（x）=|2-x²|，若a＜b＜0，且f（a）=f（b），則ab的取值范圍是

（0，2）

．

Answer 1

分析：由題意可得，-2＜a＜-

2

，0＞b＞-

2

，且a²-2=2-b² ，可得-2-

2

＜a+b＜-

2

，且a²+b²=4，故有 2＜(a+b)2＜6+4

2

．再由（a+b）²=a²+b²+2ab=4+2ab，
以及基本不等式，求出ab的取值范圍．

解答：解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=|2-x²|=

2-x2 ，  - 2 ＜x＜0 x2-2  ， x≤- 2

，
∴f（x）在（-∞，-

2

）遞減；在（-

2

，0）遞增．
∵a＜b＜0，且f（a）=f（b），
∴-2＜a＜-

2

，-

2

＜b＜0，且a²-2=2-b²．
故有 -2-

2

＜a+b＜-

2

，且a²+b²=4，故有 2＜(a+b)2＜6+4

2

．
因?yàn)椋╝+b）² =a²+b²+2ab=4+2ab，故有 4＜4+2ab＜6+4

2

，
則得 0＜ab＜1+2

2

．
再由a²+b²=4＞2ab，可得 ab＜2．
綜上可得，0＜ab＜2，
故答案為 （0，2 ）．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題意判斷出絕對值內(nèi)部代數(shù)式的符號，利用f（a）=f（b），建立起關(guān)于a，b的方程，利用基本不等式求出ab的取值范圍，屬于中檔題．