Question

（1）設(shè)，試比較與的大小；

（2）是否存在常數(shù)，使得對任意大于的自然數(shù)都成立？若存在，試求出的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放縮法證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

故函數(shù)有最小值，則恒成立      4 分

（Ⅱ）取進行驗算：

猜測：①，

②存在，使得恒成立。        6分

證明一：對，且，

有

又因，

故                  8分

從而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

證明二：

由（1）知：當(dāng)時，，

設(shè)，，

則，所以，，，

當(dāng)時，再由二項式定理得：

即對任意大于的自然數(shù)恒成立，          8分

從而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運用及不等式的證明

點評：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法。在證明時,關(guān)鍵在于分析待證不等式的結(jié)構(gòu)與特征,選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿刹坏仁降淖C明