如圖，在四棱錐
中，平面
平面
，
，
是等邊三角形，已知
.
（1）設(shè)
是
上的一點，證明：平面平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）詳見試題解析；（2）二面角
的余弦值為
.
【解析】
試題分析：（1）由勾股定理得：
。根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得
平面
再由面面垂直的判定定理得：平面
平面
；
（2）思路一、由于，故可以
為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可求得二面角
的余弦值.
思路二、作出二面角的平面角，然后求平面角的余弦值.
由（1）知
平面
，所以平面
平面
過
作
的垂線，該垂線即垂直平面
再過垂足作
的垂線，將垂足與點連起來，便得二面角的平面角
試題解析：（1）證明：在
中，由于
,
,
,
,故.
又
，
，
，又
，
故平面
平面
5分
（2）法一、如圖建立
空間直角坐標(biāo)系，
, 
,
,
.
設(shè)平面
的法向量
, 由
令
, 
.
設(shè)平面
的法向量
, 
由
即
，令
,二面角的余弦值為 12分
法二、
由（1）知平面，所以平面平面
過作
交于
，則
平面
再過作
交于
，連結(jié)
，則
就是二面角的平面角
由題設(shè)得
。由勾股定理得：
所以
.
二面角的余弦值為
12分
考點：1、面面垂直的性質(zhì)和判定定理；2、二面角的求法
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
18、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點，過A、N、D三點的平面交PC于M．查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點．查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
如圖，在四棱錐
中，側(cè)面
是正三角形，且與底面
垂直，底面是邊長為2的菱形，
，
是
中點，過
、、
三點的平面交
于
．
(1)求證：
； (2)求證：是
中點；(3)求證：平面
⊥平面
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形，
，
為
的中點。
（1）點
在線段
上，
，
試確定
的值，使
平面
；
（2）在（1）的條件下，若平面
平
面ABCD，求二面角
的大小。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形，
，
為
的中點。
（1）點
在線段
上，
，
試確定
的值，使
平面
；
（2）在（1）的條件下，若平面
平
面ABCD，求二面角
的大小。
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