Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax2+2ax﹣lnx﹣1，a∈R．

（1）當(dāng)a時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若a為整數(shù)，且不等式f（x）≥x對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），極小值為，無(wú)極大值；（2）1

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）先由，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性及最小值，由其最小值非負(fù)求得的最小值．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，令，解得或1．易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無(wú)極大值；

（2）不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，有，解得，為整數(shù)，

．令，，

，

令，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，

．

不等式對(duì)任意恒成立，，即．令，，

則單調(diào)遞增，且，

故．所以的最小值為1．