Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率e=,M、N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。
（Ⅲ）若在第一象限，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)在軸上的射影為，連接 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，證明：；

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)可知：        
故    
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（Ⅱ）設(shè)，由可得：

由直線OM與ON的斜率之積為可得：
，即
由①②可得：    
M、N是橢圓上，故    
故，即   
由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值;
（Ⅲ）設(shè)  由題設(shè)可知

由題設(shè)可知斜率存在且滿足
…………③  

將③代入④可得：……⑤
點(diǎn)在橢圓，
故