Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)滿足.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)圓是以為直徑的圓，一直線與之相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，當(dāng)且滿足時(shí)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

（2）.

【解析】分析：（1）由題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）由圓與直線相切，和，聯(lián)立方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及韋達(dá)定理，求得的取值范圍，進(jìn)而得到三角形面積的表達(dá)式，求解面積的取值范圍.

詳解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以是線段的中點(diǎn)，所以是的中位線，又所以,所以又因?yàn)?/span>，

解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）因?yàn)橹本�與圓相切，所以，即

聯(lián)立得.

設(shè)

因?yàn)橹本�與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，

所以，

，

，又因?yàn)?/span>，所以

解得.

，

設(shè)，則單調(diào)遞增，

所以，即