Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m≥ 時，設(shè)g（x）=2f（x）+x2的兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）恰為h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零點，求y=（x1﹣x2）h′（ ）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=lnx﹣mx，∴ ，x＞0；

當m＞0時，由1﹣mx＞0解得x＜ ，即當0＜x＜ 時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

由1﹣mx＜0解得x＞ ，即當x＞ 時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當m=0時，f'（x）= ＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當m＜0時，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

∴當m＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0， ），單調(diào)遞減區(qū)間為（ ，+∞）；

當m≤0時，f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）； …（5分）

（2）解：g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，則 ，

∴g'（x）的兩根x1，x2即為方程x2﹣mx+1=0的兩根；

又∵m≥ ，

∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；

又∵x1，x2為h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零點，

∴l(xiāng)nx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，

兩式相減得 ﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，

得b= ，

而 ，

∴y=

= ]

= = ，

令 （0＜t＜1），

由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，

因為x1x2=1，兩邊同時除以x1x2，得t+ +2=m2，

∵m≥ ，故t+ ≥ ，解得t≤ 或t≥2，∴0＜t≤ ；

設(shè)G（t）= ，

∴G'（t）= ，則y=G（t）在（0， ]上是減函數(shù)，

∴G（t）min=G（ ）=﹣ +ln2，

即 的最小值為﹣ +ln2

【解析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論m的取值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義得出g'（x）=0時存在兩正根x1 ， x2；
再利用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合零點的定義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)y的最小值．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．