Question

如圖，在△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4．△AOC可以通過△AOB以直線AO為軸旋轉得到，且二面角B-AO-C是直二面角．動點D的斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）D為AB上一點，當AD=

1

2

DB時，求異面直線AO與CD所成角的正切值；
（Ⅲ）求CD與平面AOB所成最大角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由已知中，CO⊥AO，BO⊥AO，可得二面角B-AO-C是直二面角，由面面垂直的性質(zhì)，可得CO⊥平面AOB，結合面面垂直的判定定理，即可得到平面COD⊥平面AOB；
（II）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則∠CDE是異面直線AO與CD所成的角，解三角形CDE即可求出異面直線AO與CD所成角的正切值；
（III）由（I）的結論，我們可以得到CO⊥平面AOB，即∠CDO是CD與平面AOB所成的角當OD最小時，∠CDO最大，求出滿足條件的OD值，代入正切公式，即可得到答案．

解答：解：（I）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，（2分）
∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD．∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．（6分）
在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，∴CE=

CO2+OE2

=

2 10

3

．
又DE=

2

3

AO=

4 3

3

．∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=

CE

DE

=

30

6

．
∴異面直線AO與CD所成角的正切值為

30

6

．（9分）
（ III）由（I）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

．
當OD最小時，∠CDO最大，（11分）
這時，OD⊥AB，垂足為D，OD=

OA•OB

AB

=

3

，tanCDO=

2 3

3

，
∴CD與平面AOB所成最大角的正切值為

2 3

3

．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，在求線線夾角及線面夾角時，關鍵是要通過轉化思想，將空間線線、線面夾角轉化為解三角形問題．