Question

如圖，某農(nóng)場(chǎng)在M處有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，且|AD|≤|BC|，∠AMB=90°，能否在大田中確定一條界線，使位于界線一側(cè)沿MB送肥料較近？若能，請(qǐng)建立適當(dāng)坐標(biāo)系求出這條界線方程．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，證出界線上的任意一點(diǎn)P滿足PA-PB=2（定值），從而得到界線為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支部分．在根據(jù)雙曲線的基本量結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出a=1且b=2

6

，算出雙曲線方程，即得界線所在曲線的方程．

解答：解：設(shè)P為界線上的任意一點(diǎn)，則有PA+MA=PB+MB，即PA-PB=MB-MA=2（定值），
∴界線為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支
如圖所示，以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1=1（a＞0，b＞0）
∵2a=2，2c=AB=

82+62

=10，可得a=1，c=5，b=

c2-a2

=2

6

∴雙曲線方程為x²-

y2

24

=1，
∵P為以曲線右支上一點(diǎn)，且|AD|≤|BC|，可得x＞0
即所求界線的方程為x²-

y2

24

=1，（x＞0）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求界線所在曲線的方程．著重考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．