Question

設(shè)某銀行的總存款額與銀行付給存儲(chǔ)戶(hù)的年利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），若銀行以9%的年利率將總存款的80%貸出，問(wèn)：銀行給存儲(chǔ)戶(hù)支付的年利率為多少時(shí)，銀行才能獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

解：設(shè)銀行支付給儲(chǔ)戶(hù)的年利率為x，銀行獲得的年利潤(rùn)為y，
年利潤(rùn)為y=貸款所得利潤(rùn)-支付儲(chǔ)戶(hù)利息的成本
則y=kx²×0.8×0.09-kx²•x=0.072kx²-kx³（x＞0）．
y'=0.144kx-3kx²=3kx（0.048-x），
令y'=0，得x=0.048，
當(dāng)x＜0.048時(shí)，y'＞0；
當(dāng)x＞0.048時(shí)，y'＜0．
故當(dāng)x=0.048時(shí)，y取極大值，
并且這個(gè)極大值就是函數(shù)y的最大值．
所以，當(dāng)銀行支付給儲(chǔ)戶(hù)年利率為4.8%時(shí)，銀行才能獲得最大利潤(rùn)．
分析：設(shè)銀行支付給儲(chǔ)戶(hù)的年利率為x，銀行獲得的年利潤(rùn)為y，然后建立年利潤(rùn)y關(guān)于年利率x的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．