Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+（2-b）x+1（x＞0）在x=x₁和x=x₂處取得極值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（Ⅰ）若a，b均為正整數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若z=a-12b，求z的取值范圍．

Answer 1

解：由題意得，（1分）
∵0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴即
整理得（3分）
（Ⅰ）由a，b均為正整數(shù)得a=7，b=1．（5分）
即，令，
解得：，或．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為．（8分）
（Ⅱ）由已知得
此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上三條直線：2-b=0，a-24b+16=0，a-10b+4=0所圍成的△ABC的內(nèi)部．（10分）
其三個頂點(diǎn)分別為：，z在這三點(diǎn)的值依次為，
所以z的取值范圍為（-8，8）．（12分）
（無圖形，扣1分）
分析：（I）對函數(shù)f（x） 求導(dǎo)，利用條件可得x₁，x₂是f′（x）=0的根，結(jié)合根的分布可得求出a，b，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）結(jié)合（I）可找出a，b所表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，求目標(biāo)函數(shù)Z的取值范圍．
點(diǎn)評：本題是一道綜合性較好的試題，綜合考查了函數(shù)的極值、二次方程的實(shí)根分布問題，線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，解決問題的關(guān)鍵是由極值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的二元一次不等式組，確定a，b所表示的平面區(qū)域，進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)Z的取值范圍．