Question

（07年江西卷文）（14分）

設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，，

且存在常數(shù)，使得．

（1）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；

（2）如圖，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于 兩點(diǎn)．問：是否存在，使

是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

解析：（1）在中，

（小于的常數(shù)）

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線．

方程為．

（2）方法一：在中，設(shè)，，，．

假設(shè)為等腰直角三角形，則

由②與③得，

則

由⑤得，

，，

故存在滿足題設(shè)條件．

方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得

所以，．

則．①

由，可設(shè)，

則，．

則．②

由①②得．③

根據(jù)雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設(shè)條件．