Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+8x+3（a＜0）
（1）a=-2時(shí)，對(duì)x∈[0，t]（t＞0），f（x）≥-5總成立，求t的最大值；
（2）對(duì)給定負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大正數(shù)g（a），使得在整個(gè)區(qū)間[0，g（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，問：a為何值時(shí)，g（a）最大？

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（x）=-2x²+8x+3=-2（x-2）²+11，由題意可得，只要f（t）≥-5，從而可求t的范圍，即可
（2）由f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，可知x=-

4

a

時(shí)，f(x)max=3-

16

a

，（i）若3-

16

a

＞5時(shí)，g（a）為方程f（x）=5的較小根（ii）若3-

16

a

≤5，即a≤-8時(shí)，g（a）為方程f（x）=-5的較大根，從而可求

解答：解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=-2x²+8x+3=-2（x-2）²+11
只要f（t）≥-5得0＜t≤2+2

2

∴tmax=2+2

2

（2）f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，當(dāng)x=-

4

a

時(shí)，f(x)max=3-

16

a

（i）若3-

16

a

＞5即-8＜a＜0，此時(shí)g（a）為方程f（x）=5的較小根
g（a）=

-4+ 16+2a

a

=

2

16+2a +4

＜

1

2

（ii）若3-

16

a

≤5，即a≤-8時(shí)，g（a）為方程f（x）=-5的較大根，
g（a）=

-4- 16-8a

a

=

4

4-2a -2

≤

1+ 5

2

當(dāng)a=-8時(shí)，g（a）最大

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，體現(xiàn)了分類討論思想在解題中的應(yīng)用．