Question

已知函數(shù)g（x）=-x²-3，f（x）為二次函數(shù)．當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最小值為1，且f（x）+g（x）是奇函數(shù)，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：待定系數(shù)法設(shè)出f（x）的解析式，利用奇函數(shù)的定義F（x）=-F（-x）建立方程組解得a，c；
由于f（x）的對(duì)稱軸含字母，所以通過分類研究f（x）在閉區(qū)間上的最值問題從而求得b．

解答：解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，所以令F（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3
因?yàn)镕（x）為奇函數(shù)，所以F（x）=-F（-x），即（a-1）x²+bx+（c-3）=-（a-1）x²+bx-（c-3）
所以：

a-1=-(a-1) c-3=-(c-3)

所以：a=1且c=3，此時(shí)f（x）=x²+bx+3．
①當(dāng)-

b

2

＜-1      即b＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，故f（-1）=1得b=3
②當(dāng)-

b

2

＞2       即b＜-4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，故f（2）=1得b=-3但與b＜-4矛盾，舍去
③當(dāng)-1≤-

b

2

≤ 2   即-4≤b≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，-

b

2

]上為減函數(shù)，在[-

b

2

.2]上為增函數(shù)，所以f(-

b

2

)=1，解得：b=-2

2

或b=2

2

（舍）
綜上所述，b=3或b=-2

2

，所以f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2

2

x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法設(shè)出f（x）的解析式，用到了奇函數(shù)的定義F（x）=-F（-x），
分類研究f（x）在閉區(qū)間上的最值（由于f（x）的對(duì)稱軸含字母）