Question

14、設(shè)定義在D上的兩個(gè)函數(shù)f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4個(gè)命題：
①“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）對任意x₁、x₂∈D恒成立”的充要條件；
②“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）對任意x₁、x₂∈D恒成立”的充分不必要條件；
③“a＞d”是“f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立”的充要條件；
④“a＞d”是“f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立”的充分不必要條件．
其中正確的命題是

①④

（請寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：由a為函數(shù)f（x）的最小值，d為函數(shù)g（x）的最大值，即可判斷出①對②錯(cuò)；以及a＞d?f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立，但反之不成立，舉反例f（x）=3x+2，g（x）=2x+2，x∈[1，2]即可說明③錯(cuò)④對．

解答：解：因?yàn)閍為函數(shù)f（x）的最小值，d為函數(shù)g（x）的最大值．所以a＞d?f（x₁）＞g（x₂）對任意x₁、x₂∈D恒成立．
故①對②錯(cuò)．
且a＞d?f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立，但f（x）＞g（x）對任意x∈D恒成立，不能得出結(jié)論a＞d，
比如：f（x）=3x+2，g（x）=2x+2，在x∈[1，2]上，f（x）-g（x）=x＞0即f（x）＞g（x）恒成立．
但f（x）∈[5，8]，g（x）∈[4，6]，即a=5，d=6，此時(shí)a＜d，得不到a＞d．
故③錯(cuò)④對．
故正確的命題有①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及充分條件與必要條件的判定，是對基礎(chǔ)知識的綜合考查，屬于基礎(chǔ)題．