Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A(4，0)，C(1，

3

)，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)）
（1）求u=

OP

•

CM

的最大值．
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，求出線段OP，CM對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得u=

OP

•

CM

的最大值；
（2）表示出向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，結(jié)合t的范圍，可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)P（t，

3

），其中1≤t≤5．
于是

OP

=（t，

3

），而

CM

=（1，-

3

），
所以u(píng)=

OP

•

CM

=（t，

3

）•（1，-

3

）=t-3．
故u=

OP

•

CM

的取值范圍是[-2，2]，所以u(píng)=

OP

•

CM

的最大值為2；
（2）λ

OA

-

OP

=（4λ-t，-

3

），

CM

=（1，-

3

），
∵(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

，∴4λ-t+3=0，
∵1≤t≤5，∴-

1

2

≤λ≤

1

2

．
即-

1

2

≤λ≤

1

2

時(shí)，(λ

OA

-

OP

)⊥

CM

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，正確運(yùn)用數(shù)量積公式是關(guān)鍵．