Question

已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式e^x＞x+m，恒成立，則m的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：把給出的不等式分離參數(shù)m，然后構(gòu)造輔助函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)的最小值，則答案可求．

解答：解：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式e^x＞x+m恒成立，即m＜e^x-x恒成立，
所以 m＜e^x-x的最小值．
令 f（x）=e^x-x，則 f'（x）=e^x-1，
由x＜0時(shí)f'（x）＜0，當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=0，當(dāng)x＞0時(shí)f'（x）＞0，
那么f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=0處取最小值f（0）=1，
因此，m的取值范圍是{m|m＜1}．
故答案為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了分離變量法及函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．