Question

．．（本小題滿分14分）定義在上的函數(shù)，如果滿足；對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).
（Ⅰ）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（Ⅱ）若是上的有界函數(shù)，且的上界為3，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若，求函數(shù)在上的上界的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，.
∵在上遞增，所以，
即在上的值域為.    …………………………… 2分
故不存在常數(shù)，使成立.
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù).………………………… 4分
（Ⅱ）∵函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，
在上恒成立. ,
在上恒成立.
…………………………………… 6分
設(shè)，，.
由,得.設(shè)，則
，，
所以在 上遞增，在上遞減.
在上的最大值為，在上的最小值為.
所以實數(shù)的取值范圍為. ……………………………………… 9分
（Ⅲ）解法一:，.
∵，,.
∴，
∵
∴. …………………………………………… 11分
①當即時，　，此時；
②當即時，，此時.
綜上所述，當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是………… 14分
解法二：.令，因為，所以.
.
因為在上是減函數(shù)，所以.………… 11分
又因為函數(shù)在上的上界是，所以.
①當即時，；
②當即時，.…………… 14分

略