Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≤0恒成立，證明：當(dāng)0＜x1＜x2時， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：求導(dǎo)得f′（x）= ，x＞0．

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；

若a＞0，當(dāng)x∈（0， ）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

（2）解：由（1）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，

又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．

若a＞2，當(dāng)x∈（ ，1）時，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意．

若0＜a＜2，當(dāng)x∈（1， ）時，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意．

若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

f（x）≤f（1）=0，合題意．

故a=2，且lnx≤x﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”）．

當(dāng)0＜x1＜x2時，f（x2）﹣f（x1）=2ln ﹣2（x2﹣x1）

＜2（ ﹣1）﹣2（x2﹣x1）

=2（ ﹣1）（x2﹣x1），

∴ ＜2（ ﹣1）

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得f′（x），對a分類討論即可得出其單調(diào)性；（2）通過對a分類討論，得到當(dāng)a=2，滿足條件且lnx≤x﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”）．利用此結(jié)論即可證明．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集)，還要掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．