Question

已知函數(shù)f(x)=

2，x＞k x2+4x+2，x≤k

，若關(guān)于x的方程f（x）=x恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則k的取值范圍為（　�。�

A．[2，+∞）

B．（-∞，-1]

C．[-1，2]

D．[-1，2）

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x應(yīng)有3個(gè)不同的交點(diǎn)．如圖所示：當(dāng)k=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有3個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足條件；當(dāng)k＜-1
或k≥2時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有2個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足條件；綜合可得結(jié)論．

解答：解：由于直線y=x和拋物線y=x²+4x+2相較于兩個(gè)點(diǎn)A（-2，-2）、B（-1，-1），
由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x應(yīng)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線y=x和射線y=2（x＞k）有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)k=-1時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有3個(gè)不同的交點(diǎn)A、B、C，故k=1滿足條件；
當(dāng)k＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有2個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足條件．
當(dāng)k=2時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有2個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，故k=2不滿足條件．
當(dāng)k＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有2個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，不滿足條件．
數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)-1≤k＜2時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=x有3個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足條件，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．