Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A₁(一3，0)、A₂(3，0)、P(、y)、M(，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若實數(shù)使向量、和滿足=?．

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當(dāng)時，過點(diǎn)A₁且斜率為1的直線與此時(1)中的曲線相交的另一個交點(diǎn)為B，能否在直線=－9上找到一點(diǎn)C，恰使△A₁BC為正三角形?請說明理由．

Answer 1

解：(1)由已知可得

    ，且≥9

∴

即，

    ∴點(diǎn)P的軌跡方程是(1一)²+=9(1一)

當(dāng)1－>0，即(一1，1)時，有=1，

此時≤l，∴²≤9，綜合²≥9知，此時點(diǎn)P的軌跡為兩點(diǎn)和

當(dāng)，即，一1)(1，+∞)時，方程為，

此時點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；

    當(dāng)=±1時，方程為，且²≥9，此時點(diǎn)P的軌跡為兩條射線．

(2)過點(diǎn)A₁斜率為1的直線方程為，

當(dāng)=時，曲線方程為，其軌跡就是兩點(diǎn)A₁和A₂，

此時直線過A₁點(diǎn)但不過A₂點(diǎn)，

∴B點(diǎn)不存在，從而這樣的三角形也不存在．