Question

（2012•武昌區(qū)模擬）已知平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，矩形ABCD的邊長AB=DC=2，AD=BC=2

2

．
（Ⅰ）證明：直線AD∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線PC和底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）矩形ABCD中，根據(jù)AD∥BC，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，可得直線AD∥平面PBC；
（II）由面面垂直的判定定理，證出PE⊥平面ABCD且CD⊥平面PAD，可得∠PCE就是直線PC和底面ABCD所成的角，且CD⊥PD．在Rt△PCE中，算出PE、PC的長，從而得到sin∠PCE=

1

2

，得∠PCE=30°，得到直線PC和底面ABCD所成角的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，…（2分）
又∵BC⊆平面PBC，AD?平面PBC
∴直線直線AD∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）過點P作PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，同理可得CD⊥平面PAD；…（8分）
所以，直線EC是直線PC在平面ABCD內(nèi)的射影
∠PCE就是直線PC和底面ABCD所成的角，
∵CD⊥平面PAD且PD⊆平面PAD，∴CD⊥PD…（10分）
在Rt△PCD中，PC=

PD2+CD2

=2

2

∵PA=PD=2，∴PE=

PD2-ED2

=

2

在Rt△PCE中，sin∠PCE=

PE

PC

=

1

2

，可得∠PCE=30°…（11分）
直線PC和底面ABCD所成角的大小為30°．…（12分）

點評：本題給出底面為矩形且一個側(cè)面與底面垂直的四棱錐，證明線面平面并求直線與平面所成角的大小，著重考查了線面平行的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角大小的求法等知識，屬于中檔題．