Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂有f(x1)+f(x2)=2f(

x1+x2

2

)•f(

x1-x2

2

)，且f(

π

2

)=0，f（π）=-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)，且f（π-x）+f（x）=0；
（3）若-

π

2

＜x＜

π

2

時，f（x）＞0，求證：f（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)通過合理賦值就可以求出f（0）的值；
（2）用賦值法可以得到f（x）與f（-x）的關(guān)系，以及f(

π

2

)=0，再進(jìn)一步令x₁=x，x₂=π-x即可得f（π-x）+f（x）=0；
（3）用單調(diào)性的定義證明，要注意變量的范圍．

解答：解：（1）令x₁=x₂=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x₁=x，x₂=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函數(shù)；
令x₁=π，x₂=0，可得f(π)+f(0)=2f(

π

2

)f(

π

2

)
又∵f（0）=1，f（π）=-1∴f（0）+f（π）=0
∴得f(

π

2

)=0
令x1=x， x2=π-x，可得f(x)+f(π-x)=2f(

π

2

)f(

2x-π

2

)=0
∴f（π-x）+f（x）=0．
（3）任取x₁，x₂∈（0，π），且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(π-x2)=2f(

x1-x2+π

2

)•f(

x1+x2-π

2

)
∵x₁，x₂∈（0，π）∴0＜

x1-x2+π

2

＜

π

2

，-

π

2

＜

x1+x2-π

2

＜

π

2

由題意知-

π

2

＜x＜

π

2

時，f（x）＞0，
∴f(

x1-x2+π

2

)＞0且f(

x 1+ x2-π

2

)＞0
故f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題是以余弦函數(shù)為背景的抽象函數(shù)問題，考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性，同時也考查了學(xué)生解決探索性問題的能力．