Question

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為正數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若成等差數(shù)列，求的值；

(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2) 2；（3）證明見(jiàn)試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由于64不算大，可以依次計(jì)算出，因?yàn)榘凑斩�義，，而此開(kāi)始，故可得出通項(xiàng)公式；（2）顯然必須是整數(shù)，而且要計(jì)算，因此我們可以根據(jù)的值分類討論（分成四類）．（3）

要證不等式，最好能求出，那么也就要求出數(shù)列的各項(xiàng)，那么我們根據(jù)數(shù)列定義，由為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，接下來(lái)各項(xiàng)都是偶數(shù)，一起到某項(xiàng)為1，下面一項(xiàng)為0，以后全部為0．實(shí)際上項(xiàng)為1的項(xiàng)是第項(xiàng)，且時(shí)，

時(shí)，因此是最大的，但在計(jì)算時(shí)，要注意當(dāng)時(shí)，，只要它不為0，就可繼續(xù)下去．

試題解析：（1）由，可得，，…，，，，，…，

即的前7項(xiàng)成等比數(shù)列，從第8起數(shù)列的項(xiàng)均為0．�。�2分）

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．　     （4分）

（2）若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知即，解得，故；(舍去)

若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知，解得，故；(舍去)（3分）

若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知，解得，故；

若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知，解得，故；(舍去)

∴的值為2．                           （6分）

（3）由（），可得，

，，

若，則是奇數(shù)，從而，

可得當(dāng)時(shí)，成立．             （3分）

又，，…

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．            （5分）

故對(duì)于給定的，的最大值為

，

故．                       （8分）

考點(diǎn)：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式（分段函數(shù)形式）；（2）等差數(shù)列與分類討論；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和與最大值．