Question

已知函數(shù)，其中且.
（1）求證：函數(shù)在點處的切線與總有兩個不同的公共點；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實數(shù)的取值范圍是．

試題分析：（1）求證：函數(shù)在點處的切線與總有兩個不同的公共點，先求出函數(shù)在點處的切線方程，因此對函數(shù)求導得，從而得，再求出，由點斜式即可得切線方程，證切線與總有兩個不同的公共點，即方程有兩個不同的解，即有兩個不同的解，由已知，故方程存在兩解，既得證．（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個極值點，只需在區(qū)間上有且僅有一個解，且在解的兩邊異號，而是二次函數(shù)，故只需，即可求出的取值范圍．
（1）由已知可得.    1分
，                                  2分
又，在處的切線方程為.                       4分
令，整理得.或，          5分
  ，                                                     6分
與切線有兩個不同的公共點.                                         7分
（2）在上有且僅有一個極值點，
在上有且僅有一個異號零點，                              9分
由二次函數(shù)圖象性質可得，                                     10分
即，解得或，                              12分
綜上，的取值范圍是.                                         13分