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        1. (2013•內江二模)已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分別是AB、BC 的中點,PA丄面ABCD.
          (1)求證:PF丄DF;
          (2)若PD與面ABCD所成角為300在PA上找一點 G,使EG∥面PFD,并求出AG的長.
          分析:(1)證明:連接AF,要證PF⊥FD,只要證FD⊥平面PAF,只要證PA⊥FD,AF⊥FD即可.
          (2)取AD中點I,取AI中點H,連接BI,EH,EG,GH,易知四邊形BFDI是平行四邊形,所以BI∥FD,再由E、H分別是AB、AI的中點,得到EH∥BI,由公理4可得EH∥FD,所以EH∥平面PFD,由
          AG
          AP
          =
          AH
          AD
          =
          1
          4
          ,所以GH∥PD,有HG∥平面PFD,轉化為平面EHG∥平面PFD,得到EG∥平面PFD.
          解答:解:(1)證明:連接AF,
          ∵在矩形ABCD中,AD=4,AB=2,F(xiàn)是線段BC的中點,
          ∴FC=CD,∴△FCD是等腰直角三角形,
          ∴∠DFC=45°,同理可得∠AFB=45°,
          ∴AF⊥FD.
          又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD,∵AF∩PA=A
          ∴FD⊥平面PAF,∴PF⊥FD.(6分)
          (2)在AP上存在點G,
          且AG=
          1
          4
          AP,使得EG∥平面PFD,
          證明:取AD中點I,取AI中點H,連接BI,EH,EG,GH,
          ∵DI∥BF,DI=BF,∴四邊形BFDI是平行四邊形,
          ∴BI∥FD
          又∵E、H分別是AB、AI的中點,
          ∴EH∥BI,∴EH∥FD
          而EH?平面PFD,∴EH∥平面PFD
          AG
          AP
          =
          AH
          AD
          =
          1
          4

          ∴GH∥PD
          而GH?平面PFD,
          ∴HG∥平面PFD,又∵EH∩GH=H
          ∴平面EHG∥平面PFD
          ∴EG∥平面PFD,從而G為所求.
          由PD與面ABCD所成角為30°,∴∠PDA=30°,
          在直角三角PAD中,∴AP=
          AD
          3
          =
          4
          3
          3
          ,
          ∴AG=
          1
          4
          AP
          =
          3
          3
          點評:本題主要考查線線,線面,面面平行,垂直關系的轉化與應用,屬中檔題.
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          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          的離心率e=
          2
          3
          3
          ,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為
          3
          2

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