Question

【題目】如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，直線交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）－2<m<2，且m≠0

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，利用長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；（2）由直線方程代入橢圓方程，利用根的判別式，即可求m的取值范圍

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為（a>b>0）

則解得

∴橢圓方程為

（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m

又KOM＝，∴l的方程為：y＝x＋m

由∴x2＋2mx＋2m2－4＝0

∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，

∴Δ＝（2m）2－4（2m2－4）>0，

解得－2<m<2，且m≠0.